9.10 질문받은 문제 (합성함수의 미분가능여부)

미분가능한지 미분불가능한지가 도대체 무슨 말인가?! → 그래프를 그려보3

Ska의 풀이] 오늘도 불철주야 공부에 매진하는 고3소녀의 질문입니다.

일단 미분가능한지는 1. 연속이어야하며

2. 전구간에서 좌미분계수와 우미분계수가 같아야합니다.

딱 봐도 f(x)와 g(x)는 x=0 에서 좌미분계수와 우미분계수가 틀리군요.

답지풀이말고 일단 한번 그래프를 그려봅시다.

ㄱ. f(f(x))

x<0 일 때 f(x) = 0 → f(f(x)) = f(0) = 0

x≥0 일 때 f(x) = x → f(f(x)) = f(x) = x

결국 f(f(x)) = f(x)의 그래프와 같은 형태이겠군용.

미분 불가능

ㄴ. g(f(x))

x<0 일 때 g(x) = -x → g(f(x)) = g(0) = 0

x≥0 일 때 g(x) = 0 → g(f(x)) = g(x) = 0

결국 g(f(x)) 라는 함수의 그래프는 x축이 됩니다.

그리고 전 구간에서 미분계수가 0이되므로 미분은 가능하군요

ㄷ. f(g(x))

x<0 일 때 → f(g(x)) = f(-x)

f(x)와 f(-x)는 y축 대칭관계에 있습니다. 그러니까 f(x)의 그래프를 y축 대칭시키고 x<0인 구간을 보면, f(-x) = -x 이겠네요.

x≥0 일 때 → f(g(x)) = f(0) = 0

결국 f(g(x))의 그래프 형태는 g(x)와 같은 형태로군요.

미분 불가능

그리고 물어보신 답안지의 경우에는,

그래프 형태 이야기를 꺼낸것은 미분이 가능한지 불가능한지가 의미하는것이 무엇인지를 알아두는것이 좋을것같아서였습니다. 답안지의 풀이가 가장 정확한 것이겠지만 그렇게 풀면 지금 산으로 가는지 강으로 가는지 모르는 학생이 태반이더라구요~

이제 마지막까지 얼마남지 않았군요. 힘내세요!!! 파릇파릇한 잔디밭에서 샤방샤방한 꽃미남 선배들과의 캠퍼스 생활이 멀지않았습니다.