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역함수의 성질과 미분 [2012년 9월모평 수리가형 21번 문제의 해설] 어느곳에 계신지는 모를 고3 수험생 김모군의 질문입니다.올해 9월달에 친 모의고사 문제를 왜 이제야 궁금해 하시는건가요!!!!!!ㅋ저도 한참을 고민했습니다 ㅋㅋ SKA' 역함수관계의 몇가지 특징들 일단 문제를 풀기전에 이 문제를 풀기위해서는 미분 뿐만아니라 역함수의 특징에 대해서 좀 알고 있어야합니다.역함수 관계에 있는 친구들의 특징을 알아보죠. 1. 역함수 관계에 있는 함수는 기울기가 서로 역수!!접선역시 y=x에 대칭이므로, 역함수의 도함수는 서로 역수관계가 됩니다. 2. 역함수가 만나는 곳은 x와 y좌표가 서로 같은곳!!! 요정도 해놓고, 3. 극한에서 써먹어야하는 성질중에 하나가이 수렴하기 위해서는,f(a) = 0 이라면, g(a) = 0 역시 되어야 한다는 것입니다. 자 그럼 문제를 풀어봅시다... 더보기
9.10 질문받은 문제 (합성함수의 미분가능여부) 미분가능한지 미분불가능한지가 도대체 무슨 말인가?! → 그래프를 그려보3 Ska의 풀이] 오늘도 불철주야 공부에 매진하는 고3소녀의 질문입니다.일단 미분가능한지는 1. 연속이어야하며2. 전구간에서 좌미분계수와 우미분계수가 같아야합니다. 딱 봐도 f(x)와 g(x)는 x=0 에서 좌미분계수와 우미분계수가 틀리군요.답지풀이말고 일단 한번 그래프를 그려봅시다. ㄱ. f(f(x))x 더보기
적분 쉽게하는법 - 넓이, 부피계산 할 때 dx, dy 어떤것을 붙여야되나? 적분을 이해하는데 컴퓨터가 적분을 계산하는 원리가 도움이 될겁니다.그러니까 적분 공식은 다 집어치우고, 컴퓨터로 적분을 계산하는 방법부터 알아봅시다. 예를들면, y = 2x + 1 이라는 1차곡선이 있다고 합시다.우리는 0에서부터 10까지를 적분하고 싶습니다.정확한 계산값은,110이군요. 컴퓨터라는 녀석은 사람만큼 똑똑하지 못하기 때문에 저것을 구하려면 몇가지 작업이 필요합니다. 바로 구간을 나눠서 사각형의 넓이를 구하는것이죠. 0~10까지 4개로 구간을 쪼개보겠습니다. 정확한 계산값과 25라는 오차를 갖습니다.구간을 더 잘게 쪼개볼께요.그럼 10개로 쪼개봅시다. 자, 이제는 오차가 10으로 줄었습니다.구간을 100개로 나누면 계산의 오차는 더욱 줄어들 것이라는것은 해보지 않아도 알 수 있겠죠? 컴퓨터는.. 더보기
인수분해 공식표 & 몇가지 인수분해 공식의 유도 SKA' 인수분해 ↔ 곱셈공식 몇몇 알려진 인수분해 공식들은 사실 곱셈공식의 역입니다. 그러니까 사실 증명은 의미가 없습니다.그렇지만 몇가지 인수분해 공식들은 그냥 외울것이 아니라 스스로 유도해 본다면 수학적인 사고를 넓히는데 큰 도움이 됩니다. 그리고 공식이 약간 변형되었을 때 재빠르게 대처할 수 있는 능력도 기를 수 있죠.우선 잘 알려진 인수분해 공식들입니다. ①~⑥번 공식을 가지고,⑦, ⑧, ⑨, ⑩번 공식을 한번 유도해 봅시다. SKA' 몇가지 인수분해 공식 유도 ⑦번 공식의 유도 ⑧번 공식의 유도 ⑨번 공식의 유도 ⑩번 공식의 유도 몇번 따라해보시면 인수분해 공식이 자연스럽게 암기되실껍니다.인수분해 공식 모르면 방정식부터 힘들죠~ 수학은 암기가 필요없는 과목이 아닙니다. 더보기
다항식의 최대공약수, 최소공배수 쉽게 찾는법 최대공약수와 최소공배수를 구하는법은 중학교 때 질리도록 해봤을 겁니다. 소수인 공약수를 서로소가 될때까지 차례차례 나눠준다음,나누는 수끼리 곱하면 > 최대공약수나누는 수와 몫을 다 곱하면 > 최소공배수가 된다는 것이죠. 하지만 고등 수학에서 나오는 최대공약수와 최소공배수 문제는 이렇게 풀리지가 않는 경우가 많습니다. 같은 방법으로 풀린다면 다시 배울 필요도 없겠지요. 본론으로 들어가기 전에 이것부터 한번 봐두고 본론을 봐 주시기 바랍니다.최대공약수 > 지수의 최소값으로 곱한다.최소공배수 > 지수의 최대값으로 곱한다. SKA' 상수일때는 소인수분해부터 고등수학에서의 최대공약수와 최소공배수를 구하는 첫번째 단계는 (소)인수분해부터입니다. 상수의 최대공약수와 최소공배수를 구할때는 소인수분해, 미지수가 포함된 .. 더보기
우함수 기함수 의 모든것 우함수와 기함수 고교 수학 내도록 나오는데 정말 헷갈립니다. 차근차근 내용을 정리하면서 우함수, 기함수 안까먹는 법까지 알려드릴께요. 우함수 우함수는 짝함수라고 하고 문제에는 지수가 짝수인 함수나, 삼각함수 중에 cos함수가 자주 등장합니다. 수식으로 표현은, 가 되고 함수 f에 x를 대입하든, (-x)를 대입하든 결과값에는 같기 때문에 y축에 대칭한다는 말이 되겠네요. 기함수 ; (-)가 기어나오는 함수 기함수는 홀함수라고 하고 문제에는 지수가 홀수인 함수나, 삼각함수 중에 sin, tan함수가 자주 등장합니다. 수식으로 표현은, 가 되고 함수 f에 x를 대입한 값이, (-x)를 대입한 값에 반대 부호이기 때문에 그래프는 원점대칭이겠습니다. f(-x) = f(x) → 우함수(짝함수) f(-x) = -f.. 더보기
지수함수 응용문제 - 방문자수 예측하기 아래 표는 3월 일별 방문자 데이터 입니다. 일자 방문자 일자 방문자 1 178 17 410 2 152 18 499 3 263 19 388 4 187 20 363 5 160 21 580 6 146 22 580 7 153 23 427 8 349 24 540 9 231 25 864 10 235 26 643 11 265 27 774 12 137 28 652 13 172 29 746 14 227 30 800 15 435 31 975 16 223 이를 그래프로 그리면,그래프에서 추세선을 삽입함으로써 방문자수가 어떤 추세를 가지고 증가하고 있는지를 알 수있었습니다.저는 추세/회기 유형을 지수함수로 정했습니다.자 그렇게 하고나니 가 계산되었네요.여기서 y는 방문자수, x는 3월 1일부터 지나간 날짜입니다.x에 31을.. 더보기
이항정리 단원정리 (수식과 간단한 문제풀이) 교과서 문제 정답은 있는데 풀이가 없어서 독학하기 힘든분을 위한 풀이입니다. 문제는 약간 변형했습니다만. 풀이와 정답은 같아요. 문제1] 이항정리를 이용해서 아래 식들을 전개하시오 (1) 이항정리 : n이 자연수일 때 정답) (2) 정답) 문제2] 다음식도 전개하시오. (1) 정답) (2) 정답) 문제4] 다음 식의 전개식에서 [ ]안의 항의 계수를 구하시오. (1) 계수찾기 : n이 자연수일 때 풀이) 문제에서 요구하는 항은 아래와 같으므로 (2) 풀이) 문제에서 요구하는 항은 아래와 같으므로 문제 4] 증명 생략 문제5] 원소의 갯수가 10개인 집합의 부분집합 중, 원소가 홀수 개인 부분 집합의 갯수는? 원소의 갯수가 9개인 경우 10C9 = 10C1 = 10개 원소의 갯수가 7개인 경우 10C7 =.. 더보기
순열과 조합 단원 정리 (수식과 간단한 문제풀이) 교과서 문제 정답은 있는데 풀이가 없어서 문제를 약간 변형한 풀이입니다. 풀이와 정답은 같아요. 문제1] 5가지 색깔을 가지고 정오각 뿔의 옆면을 칠하는 경우의 수는? 풀이) 원순열에 대한 문제입니다. 원순열 : 서로다른 n개를 원형으로 배열하는 원순열의 수는 입니다. 서로다른 5개의 색을 원형으로 배열하는것과 같으므로 식에 5를 대입하면, 정답) (5-1)! = 4! = 24 문제2] 남자4명과 여자 2명이 있다. 6명을 원으로 배열하는데 여자끼리 이웃하는 경우의 수를 구하시오. 풀이) 서로 이웃하는 것이 있는 원순열에 대한 문제입니다. 일단 여자한명을 제외시키고 5명으로 원순열을 만든다음 제외했던 여자한명을 여자옆에 다시 끼워넣으면 되겠네요. 더 자세한 설명이 필요한 분은 아래 포스팅을 참고하셔도 되.. 더보기
삼각함수와 지수함수 적분문제 (2단계 부분적분) 부분적분은 끄적미적을 활용하라!! 문제) ∫sinxe^xdx 를 적분하시오. 답변) 이 문제는 부분적분을 한번만 해서는 풀 수없습니다. 부분적분을 두번 하는 문제로써, 차근차근 풀어보면 쉽게 풀 수있습니다. 부분적분은 끄적미적으로 외우면 쉬워요. 부분적분=그냥*적분한거-∫미분한거*적분한거dx 더보기
연립방정식 암산으로 푸는법 (연립방정식 쉽게 푸는법) 수학, 공부, 수능, 연립방정식, 연립방정식 쉽게푸는법, 연립방정식 암산으로 푸는법 공식 외운다는건 사실 추천하지 않는데 x와 y의 계수가 잘 맞지 않는경우 계산이 복잡해지므로 손에 익었다면, 연립방정식따위 암산으로 푸는것도 가능해집니다. 계산기가 있다면 더 쉽게 풀릴것입니다. 아 여기서 분모분자 둘 다 0이되면 부정 (해가 무수히 많음) 분모만 0 이면 불능(해가 없음) 더보기
1차 3원연립방정식의 다른 풀이법(계산기로 풀 수있는 방법) 수학, 공부, 수능, 꼼수, 방정식, 연립방정식, 쉽게풀기, 연립방정식쉽게푸는법, 3차연립방정식, 3차 연립방정식, 3원1차연립방정식, 3원 1차 연립방정식, 계산기로 푸는법 미지수가 3개인 3원 1차 연립방정식은 쉬우면서도 어렵죠. 아래 풀이법은 기계적으로 풀 수있는 방법입니다. 다음 풀이법은 2가지 용도로 사용될 수 있습니다. 1. 컴퓨터나 계산기를 이용할 수 있을 때 빠르고 쉽게 계산할 수 있습니다. 2. 많은 연습으로 인해 공식이 손에 익었을 때 계산의 단계를 줄일 수 있습니다. 사실 아래 공식을 외우는 것은 무리수라고 판단되므로, 1번의 용도로만 사용하는 것을 추천합니다., 더보기
수학) 한 근(무리수, 허수)을 알고있을 때 고차방정식(2차방정식, 3차방정식) 쉽게 푸는법 수학, 수능, 정석, 방정식, 문제풀이, 수학의 정석, 근과계수의 관계, 근, 계수, 고차방정식, 켤레근, 해, 풀이, 유리수, 허수, 수학의 정석(기본편) 233p "13.일차,이차, 고차방정식" 단원에서 한 근을 알고 있을 때 나머지 두 근을 구하는 삼차방정식에 대한 문제가 있습니다. 일반적으로 방정식의 계수가 유리수일때 한근이 무리수라면 그 켤레근도 해가된다는 성질과 (한 근이 1+√2 라면 1-√2 도 다른 한 근이 된다는 것) 방정식의 계수가 실수일때 한근이 허수라면 그 켤레복소수도 해가 된다는 성질을 이용하면 쉽게 해결됩니다. (한 근이 1+2i 라면 1-2i 도 다른 한 근이 된다는 뜻) 조건을 유의해서 보기바랍니다. 문제는 다음과 같습니다 아래는 모범답안에 나와있는 풀이법입니다. 아래는 앞.. 더보기
원순열(순열) 쉽게 구하는법 (이웃해서 서기, 마주보고 서기) 고등학교 3학년 요맘때쯤이면 "확률과 통계"에서 원순열을 배우고 있지 않을까 싶습니다. 원순열은 사실 어려운 것이 아닌데 요걸 약간 응용하면 머리아파지게 되죠 순열부터 원순열 그리고 원순열의 응용까지 쉽게 할 수 있는 방법을 알아봅시당 추천해 주시면 더 많은 분들이 이 글을 보실 수 있습니다. 추천은 로그인이 필요없다니깐요 ㅎㅎ 문제) 6명의 사람이 있다고 가정합시다. 이 6명이 원탁회의를 하려고 합니다. 이 사람들이 앉을 수 있는 경우의 수는 몇가지 일까요? 풀이) 순열의 개념부터 출발해 봅시다. 6명을 원탁에 앉히는 것은 6명을 줄을 세운 다음에 첫번째와 마지막 친구를 연결하면 원이 되겠네요. 일단 6명을 줄을 세우는 경우의 수는, 자리의 개념으로 생각하면 쉬워집니다. 첫번째 자리에 몇명이 올 수 있.. 더보기
중학교 수학 전과정 총정리 앞서 포스팅한 고등학교 선행이 필요한 학생들은 교과서나 문제집을 한번 쭉 훑어보는것이 더 중요하리라 봅니다만 시간이 없는 학생들은 이거라도 한번 읽어보세요. 출처는 점프해커스 내신 자료실이고 그림이 깨진부분이나 어긋난 부분은 제가 수정했습니다. 원 저작자의 클레임이 들어오면 자진삭제토록 하겠습니다. 상당히 정리가 잘 돼있습니다. 꼭 한번 참고하세요. 댓글 달아주시는 분들은 아무때나 와서 모르는 문제 물어보시면 답해드립니다~ 더보기
고등학교 1학년에 진학하기 위해 필요한 선행학습(수학)단원정리 Ⅰ. 실수와 그 연산 Ⅱ. 문자와 식 Ⅲ. 이차함수 Ⅳ. 통계 Ⅴ. 피타고라스의 정리 Ⅵ. 삼각비 Ⅶ. 원 고등학교에 진학하고 나서 수학을 어려워 하는 학생들은 선행학습이 되지 않았거나 되었다 하더라도 까먹은 경우가 대부분입니다. 중학교 3년간의 학습과정을 전부 되풀이 하는것은 효율적이지 않아보여요. 고1 수학에서 필요한 선행학습의 중학교 학년별 단원을 뽑아 보았습니다.(두산교과서 기준) 아직 고1 수학이 시작한지 얼마 안되었으니 선행이 준비되지 않은 학생들은 중학교 교과서의 이부분이라도 보고 고등수학에 임하시기 바랍니다. 수학이 어렵게만 느껴지는 친구들은 자신이 어디에서 빠졌는지 확인하는 방법도 되겠네요. 그리고 이 포스팅을 보는 중학생이 있다면 문제집과 교과서를 버리지 말고 모아두세요. 두산교과서 교.. 더보기
삼각형의 5심 - 방심(증명, 그리는법, 응용, 넓이) 오늘은 삼각형의 5심(오심) 중 방심에 대한 정리를 해보고자합니다. 수학에서 용어는 그렇게 중요하지 않습니다. 그러나 그것들이 어떤 성질을 갖느냐 하는것은 대단히 중요하죠. 대부분의 고등교과과정의 도형문제를 풀수있는 키는 이 5심의 각 성질에 있습니다. 알면 정말 쉽게 풀리지만, 모르면 고생만 하다가 시간을 놓치게 됩니다. 5심은 말 그대로 5가지 중심을 말하는 것입니다. (↓↓↓↓↓ 제목을 클릭하시면 바로 가실 수 있어요~) 1) 내심 (세 내각의 이등분선의 교점) 2) 외심 (세 변의 수직이등분선의 교점) 3) 수심 (세 꼭지점에서 각 대변으로 내린 수선의 발의 교점) 4) 무게중심 (세 내각에서 각 변의 이등분선으로 그은 선분의 교점) 5) 방심 (한 내각과 다른 외각의 이등분선을 이은 교점) < .. 더보기
삼각형의 5심 - 무게중심(증명, 그리는법, 응용, 넓이) 오늘은 삼각형의 5심(오심) 중 무게중심에 대한 정리를 해보고자합니다. 수학에서 용어는 그렇게 중요하지 않습니다. 그러나 그것들이 어떤 성질을 갖느냐 하는것은 대단히 중요하죠. 대부분의 고등교과과정의 도형문제를 풀수있는 키는 이 5심의 각 성질에 있습니다. 알면 정말 쉽게 풀리지만, 모르면 고생만 하다가 시간을 놓치게 됩니다. 5심은 말 그대로 5가지 중심을 말하는 것입니다. (↓↓↓↓↓ 제목을 클릭하시면 바로 가실 수 있어요~) 1) 내심 (세 내각의 이등분선의 교점) 2) 외심 (세 변의 수직이등분선의 교점) 3) 수심 (세 꼭지점에서 각 대변으로 내린 수선의 발의 교점) 4) 무게중심 (세 내각에서 각 변의 이등분선으로 그은 선분의 교점) < 오늘 할 내용 5) 방심 (한 내각과 다른 외각의 이등분.. 더보기
삼각형의 5심 - 수심(증명, 그리는법, 응용, 구점원, 오일러 직선) 오늘은 삼각형의 5심(오심) 중 수심에 대한 정리를 해보고자합니다. 수학에서 용어는 그렇게 중요하지 않습니다. 그러나 그것들이 어떤 성질을 갖느냐 하는것은 대단히 중요하죠. 대부분의 고등교과과정의 도형문제를 풀수있는 키는 이 5심의 각 성질에 있습니다. 알면 정말 쉽게 풀리지만, 모르면 고생만 하다가 시간을 놓치게 됩니다. 5심은 말 그대로 5가지 중심을 말하는 것입니다. (↓↓↓↓↓ 제목을 클릭하시면 바로 가실 수 있어요~) 1) 내심 (세 내각의 이등분선의 교점) 2) 외심 (세 변의 수직이등분선의 교점) 3) 수심 (세 꼭지점에서 각 대변으로 내린 수선의 발의 교점) < 오늘 할 내용 4) 무게중심 (세 내각에서 각 변의 이등분선으로 그은 선분의 교점) 5) 방심 (한 내각과 다른 외각의 이등분선을.. 더보기
3.2 삼각함수의 합,차 공식의 응용(수정) 각함수의 합차공식을 응용한 문제입니다. 삼각함수의 합차공식을 쉽게외우는 방법은 아래 포스팅을 참고하세요. 삼각함수 쉽게하기 (합차공식 쉽게외우기) 계산이 막막해 보이지만 차근차근 풀다보면 어느새 답이 나와있을꺼임 질문) 답변) 삼각함수의 합차공식을 써서 차분히 풀다보면 답이 나오게 되겠습니다. 디씨 수리갤러리 아무개씨의 풀이법이 더 쉬운것 같아 쉬운방법으로 다시 수정함 더보기