[물리1 요점정리] 중력, 마찰력, 탄성력 내용정리 & 문제푸는 요령

영화 미션임파서블4 中              

힘은 가속도를 만들어 낸다고 했습니다. (관련링크)

그럼 힘에는 어떤 것들이 있을까요? 우리가 직접 물체에 가하는 힘이 있을테고, 지구가 우리에게 항상 가하고 있는 만유인력, 운동하는 물체에 항상 가해지는 마찰력, 스프링문제에서 나오는 탄성력 등이 있을 것입니다.

하나하나 특징과 관련공식을 정리해보고 문제푸는 요령까지 정리해보고, 수능기출문제는 다음 시간에 정리해봅시다.

SKA'       1. 중력

만유인력의 법칙에 의해 질량을 가진 두 물체는 서로 당기게 됩니다.

서로 당기는 힘은 방향은 반대이며 크기는 같습니다. (작용반작용의 법칙)

G : 만유인력상수

m1 : 물체1의 질량

m2 : 물체2의 질량

r : 두 물체사이의 거리

중력에 의해 발생하는 물체의 가속도를 g라고 하면,

G : 만유인력상수 (위와 동일)

M : 지구의 질량 (약 6 * 10^24 kg)

R : 지구의 반지름 (약 6400km)

지구가 물체를 당기는 힘(=중력)에 의한 가속도 g는 약 9.8㎨ 로 계산됩니다.

※ 산꼭대기에서 중력가속도는 변할까?

지구상에서 가장 높은 산의 높이(에베레스트)가 10km가 되지 않습니다. 지구의 반지름을 생각해보세요. 빙산의 일각이군영. 지구상에 위치하는 물체라면 일반적으로 어느 높이에서도 중력가속도의 크기변화에 주는 영향은 미미하다고 가정해도 무방하겠군요

※ 적도와 극지방의 지구 반지름이 다른데 중력가속도는? 적도지방은 극지방보다 지구의 반지름이 약 50km정도 크며, 거기에다가 지구의 회전에 의한 원심력이 더해지기 때문에 중력가속도는 극지방이 적도보다 큽니다.

우주선을 북극에서 쏘아올리는 거 본적있나요?? 대부분 적도근처 중력가속도의 영향을 덜받는 곳에서 쏘아올리는 이유중의 하나입니다.

※ 무게와 질량 구분하기?(무게와 질량의 차이점)

달에가서 체중계에 올라가면 몸무게는 지구에서의 약 1/6로 줄어들게 됩니다. 달과 사람 사이의 만유인력이 지구에서보다 약 1/6로 작기 때문인데 실제 사람의 질량은 우주나 지구나 다르지 않죠. 질량은 우주에서 측정하나 지구에서 측정하나 똑같습니다.

질량 : 한번 정해지면 어디에 갖다놔도 안변하는 물리량 (단위 : kg)

무게 : 중력가속도에 영향을 받는 힘의 물리량 (단위 :kgf, N 등)

SKA'       2. 마찰력

마찰력은 바닥을 누르는 힘(수직항력)이 운동을 방해하는 방향으로 변환되어 작용하는 힘을 말합니다. 마찰면의 거칠기나 여러 상황에 따라서 달라집니다. (마찰계수가 변하는것 때문)

2.1 수직항력

바닥이 물체와 접촉하는 면에서 물체를 떠받치는 힘입니다. 물체가 바닥면을 누르는 힘과 작용반작용관계에 있는 힘입니다.

평면위에서는 물체가 가지는 무게가 수직항력과 같습니다.

그러나 경사면에서는 그림처럼 무게를 힘의 방향에 따라 분해해야됩니다. 물체가 경사면을 따라서 내려오려고 하는 힘은 mgsinΘ 이고 물체가 경사면을 누르는 힘은 mgcosΘ 입니다. 힘을 분해하고난 mg는 이제 더이상 고려하지 않습니다.

경사면에서의 수직항력은 바닥을 누르는 힘과 반작용을 이루는 힘이므로 mgcosΘ가 됩니다.

2.2  정지마찰력(fs)

마찰력은 물체가 움직이려고 하는 방향에 반대되는 힘입니다. 만약에 내가 물체에 힘을 가했는데 물체가 움직이지 않는다면 물체의 운동을 방해하는 힘이 있기 때문입니다. 그리고 그 힘과 내가 미는 힘이 평형을 이루기 때문에 물체가 움직이지 않는 것이죠.

작용반작용의 법칙을 생각해서 내가 물체를 밀고, 물체도 나를 같은 힘으로 미니까 물체가 안움직인다고 생각하면 큰일납니다. 작용반작용관계에 있는 힘은 서로 작용점이 다르므로 합성이 불가능하기 때문입니다.

예를 들어봅시다.

1) 내가 물체를 10N의 힘으로 밀었는데 물체가 움직이지 않는다면 정지마찰력은 -10N

2) 내가 물체를 20N의 힘으로 밀었는데 물체가 움직이지 않는다면 정지마찰력은 -20N

3) 내가 물체를 30N의 힘으로 밀었는데 물체가 움직이지 않는다면 정지마찰력은 -30N

내가 몇 N으로 밀든지 물체가 움직이지 않았다면 내가 준 힘은 물체와 바닥사이의 마찰력과 같습니다. (방향은 반대)

그러나 우리가 계속 미는 힘을 강하게 하면 결국에는 물체가 움직이게 될 것입니다.

2.3 최대정지마찰력(fs최대)

무거운 물체를 민다고 생각해보시면, 처음에는 잘 움직이려하지 않다가 일단 움직이기 시작하면 그나마 수월하게 움직이는 경험이 있으실겁니다. 바로 물체에 계속 힘을 가하는데 물체가 움직이지 않으면 정지마찰력이고, 계속 더 힘을 가해주다 보면 물체가 움직이는 순간이 있을 겁니다. 

딱!!

그때의 힘이 바로 최대정지 마찰력입니다.

최대정지마찰력은 다음의 식으로 계산됩니다.

2.4 운동마찰력(fk)

물체가 움직이고 있을 때 물체가 움직이는 반대 방향으로 작용하는 운동을 방해하려고 하는 힘입니다. 운동마찰력은 정지마찰력과는 달리 얼마의 힘으로 운동하는지 속도가 얼마나되는지와는 상관없습니다. 수직항력과 운동마찰계수에 의해서만 결정되며 다음의 식으로 계산됩니다.

2.5 마찰력 그래프 해석

일반적인 마찰력의 그래프 입니다. 물체가 움직이기 전까지는 힘을 가해줘도 합력이 0이 되므로 마찰력은 외력과 방향은 반대이며 크기는 같은 힘입니다. 그래프에서 기울기는 1이 되겠습니다.

이제 물체가 딱! 움직이는 그 순간의 외력이 최대 정지마찰력이며, 앞서 설명한 공식으로도 계산됩니다.

물체가 움직이기 시작한 순간부터는 운동마찰력이 작용합니다. 

물체를 움직인 다음부터 물체가 등속운동을 한다면 물체를 밀어주는 힘과 운동마찰력이 같다는 이야기이겠군요.

2.6 경사면 문제풀기

1) 우선 경사면에 질량 m인 물체를 두되, 경사가 낮다고 가정하면 마찰력때문에 물체가 빗면에 그냥 멈춰 있을겁니다.

중력의 빗면 성분때문과 정지마찰력은 아직 평형을 이루고 있기 때문에 물체에 가해지는 알짜힘은 0입니다. 물체는 당근 정지해 있겠지요.

2) 빗면의 기울기를 약간 올려서 물체가 미끌어져내려오는 순간을 잡아봅시다.

중력의 빗면성분과 정지마찰력이 딱 같아져서 물체가 마찰력을 이기고 움직이기 시작했습니다. 이때의 정지마찰력과 빗면방향 중력은 아직까지는 평형이므로  최대정지마찰계수는 위의 그림에서와 같이 결정될 것입니다.

3) 빗면의 기울기를 더 올려서 물체가 가속운동을 하는 경우입니다.

이제는 물체에 가해지는 중력의 빗면성분이 마찰력(운동)보다 크고 물체는 가속운동을 하게 됩니다. 그러나 운동방향의 반대쪽으로 작용하는 운동마찰력이 있으므로 알짜힘은 중력의 빗면방향성분에 운동마찰력을 빼준값이 될 것입니다.

알짜힘에다가 물체의 질량을 나눠주게 되면 물체의 가속도를 알 수 있게됩니다.

SKA'       3. 탄성력

우리가 스프링 같은 탄성체에 외력을 가할경우 그에 반대방향으로 탄성체가 우리에게 힘을 가하는 힘을 탄성력이라고 하고 외력과는 작용/반작용 관계에 있는 힘입니다.

스프링같은 탄성체는 일반적으로 늘렸다가 놓으면 다시 원래 상태로 돌아갑니다. 그러나 어느정도 한계선을 넘어버리면 되돌아가지 않고 늘어난 상태가 유지됩니다. 그 한계선을 탄성한계라고 합니다.

탄성계수 : 1m를 변형시키는데에는 물체마다 필요한 힘이 다릅니다. 물체마다 다른 이 값을 탄성계수, 용수철 상수라고 부르며 단위는 N/m를 사용합니다.

훅의법칙 : 탄성한계내에서 탄성력의 크기는 늘어난 길이에 비례한다.

 (k : 탄성계수, x : 늘어난 길이)

ex) 탄성계수 3N/m인 용수철을 1m 늘리기 위해서 필요한 힘은?

      F = 3N/m*1m = 3N

     3N의 외력으로 용수철을 잡아당겨야 하며(+;외력), 이때 용수철이 손을 3N의 힘으로 잡아당긴다(-;탄성력)

SKA'       4. 물리문제 푸는 팁 # 1(단위=공식)

따로 포스팅할 계획이었는데 여기서 약간 맛보기만 해봅시다.

공식=단위 라는 말은 단위를 외우면 공식이 저절로 외워진다는 말입니다. 

위대한 연구자들이 실험이나 연구를 통해서 공식을 유도하는 과정에서 사용된 방법은 단위를 가지고 공식을 짜맞추는 것이었습니다.

예를 들어 만유인력 상수 (G=6.67*10^-11 Nm^2/kg^2) 에서 "Nm^2/kg^2"라는 계수의 단위는 어떻게 구해진 것일까요?

그리고 마찰력의 마찰계수는 왜 단위가 없을까요?

탄성력의 탄성계수는 왜 "N/m" 라는 단위를 가질까요?

단위에서 사용되는 N, kg, m를 수학의 다항식에서 x와 y를 약분하고 곱한 것처럼 다뤄봅시다.

만유인력을 구하는 식에서,

여기서 F는 힘의 단위이니까 (N)

G는 일단 보류합시다.

M과 m은 질량의 단위이므로 (kg)

R은 거리의 단위이므로 (m)

를 써서 위에 식에 대입해봅시다.

만유인력상수G로 정리해보면,

가 되네요. 위에서 나왔던 만유인력상수의 단위와 같다는 것이 보이나요?

마찰력을 한번 볼까요?

우선 힘(N=ma)로 정의했습니다.

F=[N]

m=[kg]

a=[m/s^2]

이라고 했습니다.

마찰계수로 정리해볼까요?

mg는 수직항력(힘)의 단위이므로 결국 힘/힘 으로 단위가 없어집니다. 

마찰계수는 그래서 단위가 없습니다.

탄성력은 거꾸로 한번 해볼까요?

탄성계수의 단위는 [N/m]라고 했습니다.

거리의 단위는 [m]입니다.

그럼 탄성력의 공식은 어떻게 될지 한번 때려맞춰봅시다.

탄성력은 힘의 단위이므로 [N]의 단위가 나와야 합니다.

a=1, -a+b=0 

이므로 a=1, b=1

∴ F = kx 라고 유도되는 것이죠.

공학에서 배우는 차원해석을 아주 간단하게 설명했습니다. 대학이상의 교과과정에서는 이렇게 계산하면 안됩니다. 힘의 차원이라는건 없어요. 더 작게 나눠야 합니다.

어찌됐건 시험시간에 공식을 유도하라는 것은 아닙니다.

차원을 맞춰보면 적어도 자기가 맞는 공식을 쓰고있는지 아닌지는 알 수 있다는 것이죠.

시험시간에 공식이 아리까리하다면, 단위를 맞춰보세요.

예를들어 만유인력의 법칙의 공식을 헷갈려서

이라고 알고있었다면,

단위를 넣어봅시다.

어떤가요?

듣도보도 못한 단위가 나와버렸습니다.

공식을 잘못알고 계산하고 있었다는 것이죠.

대부분의 문제에서 저런 계수들은 숫자값만 주어지는 것이 아니라 단위까지 함께 주어지니까 자기가 제대로 가고있는지를 확인해보는 강력한 방법이 될 수 있습니다.

한번 활용해보세요.