[물리1 요점정리] 운동량과 충격량 내용정리

 

앞서 힘과 가속도에 대해서 말해보았습니다. 힘과 가속도를 다룰 때는 속도가 얼마이든지 상관없이 등속이냐 아니냐 가 문제를 푸는 열쇠였습니다.

그러나 실생활에서는 속도가 빠르냐 아니냐가 매우 중요합니다.

사회인 야구단이 던지는 야구공과 10승투수가 던지는 강속구의 위력은 차이가 어마어마하죠.

여러분이 포수라면 그런 강속구는 받고싶어지지 않을 겁니다.

바로 이것에 대해 말하는 것이 운동량입니다. 그리고 그 물체가 가하는 충격의 크기를 충격량이라고 하죠.

이 운동량과 충격량은 밀접한 관계를 가집니다. 수능문제와도 매우 밀접한 관계를 가지죠.

하나하나 알아보고 다음시간에는 수능시험에 나왔던 기출문제 같이 또 풀어보도록 해요~

SKA'       운동량

친구와 공던지기 놀이를 한다고 할때, 같은 공이라도 속도가 빠를 수록 충격이 큽니다. (속도와 비례)

그리고 같은 속도라도 무거운 공일 수록 충격이 큽니다. (질량과 비례)

이렇게 속도를 가지고 운동하는 물체가 가지는 물리량을 운동량(p; kg*m/s)이라고 하고 수식으로는 다음과 같이 나타냅니다.

운동량 p와 속도 v 위에 화살표가 있는 이유를 아시겠나요? 둘 다 방향을 가지는 벡터량이기 때문입니다.

나중에 배우게 되는 운동에너지는 방향이 존재하지 않습니다. 그러므로 스칼라량이죠. 헷갈리지마세요.

운동량 - 벡터; 방향이 존재

운동에너지 - 스칼라; 방향이 존재하지 않음

SKA'       충격량

 

날아오는 공을 향해 야구빠따를 휘둘렀다고 생각해봅시다.

날아오는 공은 빠따에 맞는 순간속도가 변하면서 반대방향으로 날아가게 됩니다.

처음에 공은 v0의 속도로 타자에서 날아오고 있습니다. 그리고 타자에게 제대로 맞게 되면 v의 속도로 반대방향으로 날아가게 되죠.

이때 처음 운동량과 나중 운동량의 차이가 바로 타자가 받는(타자가 휘두른) 충격량 I 가 되는 것입니다.

위의 그림에서 보면 야구공의 전후의 운동량의 차이가 타자가 휘두르는 충격량이라는거 보이시나요? 벡터의 합성요령은 비가 내리는 상대속도를 계산했을때와 같습니다. 아래 링크를 참고하세요.

그런데 한가지 생각해볼 것이 있습니다. 우리가 힘에 대한 이야기를 할때 힘은 가속도를 만들어 내고, 아래와 같이 정의했습니다.

단위를 가지고 물리의 이해를 돕는 방법에 대해 이야기 했던것 기억나시나요? 아래 링크를 확인해보세요.

제가 하고싶은 말은 충격량의 단위와 힘의 단위가 차이가 거의 없다는 것입니다. 시간 s가 제곱이 되었다는것의 차이이죠. 결국 힘은 충격량의 단위에서 시간을 한번 더 나눠주면 됩니다.

사실 힘은 운동량의 시간변화율과 같은 개념이거든요. 이런건 대학교가서 하시고, 이것만 기억하세요.

운동량-시간 그래프 미분 → 힘

힘-시간 그래프 적분 → 충격량

수식으로는 다음과 같이 나타냅니다.

마지막 식의 시간변화량 Δt를 좌변으로 이항하면, 다음과 같은 관계가 성립합니다.

SKA'       충격량과 힘과 시간

운동량의 변화량(충격량)이 힘과 시간의 곱이라고 이야기 했습니다.

그렇다면 포수가 두꺼운 글러브를 끼는 이유에 대해 이야기 해봅시다.

   i) 투수가 던지는 속력이 일정하다면 (vo 일정)

   ii) 포수의 글러브에서 멈추는 공의 나중속도는 0 (v도 일정)

   iii) 충격량은 일정

   iv) I = FΔt = 일정하므로,

   v) Δt 가 짧아지면 F(힘=충격)이 커집니다.

   vi) Δt 가 길어지면 F(힘=충격)이 작아집니다.

포수는 투수의 공이 매우 빠르므로 그 공을 받아야하는 포수는 공과 접촉시간을 길게 가져야 손에 받는 충격이 덜합니다.

한경기에서 포수가 받는 공은 약 150개 정도 됩니다. 그러니까 손이 안아프기 위해서는 두꺼운 글러브를 껴야하는 것이죠.

그러면 싸움을 잘하려면 어떻게 하면 될까요?

야구공 때와는 반대로 타격시간이 짧도록 주먹을 날리면 상대편이 받는 충격이 더 클 것입니다.

물리를 잘해야 싸움도 잘할 수 있다는 말씀

이와 관계된 시험에 잘 나오는 그래프입니다.

충격량(그래프의 면적)이 같더라도 접촉 시간에 따라 충격의 크기가 달라집니다. 그러니까 선생님한테 빠따를 맞을 일이 있다면 빠따와 엉덩이가 맞기 직전에 엉덩이를 살포시 내려줘서 빠따와 엉덩이의 접촉시간을 최대한으로 길게 하는겁니다!!! 부디 성공하길 바랍니다 ㅋ

SKA'       운동량의 보존

운동량의 보존은 아주 많이 중요하기도 하고, 시험에도 매번 나옵니다. 안나올수가 없습니다.

운동에너지는 보존되지 않지만(다른 에너지로 변합니다.) 운동량은 반드시 보존되게 됩니다.

잘나오는 운동량의 보존 문제는 4가지인데 하나씩 살펴봅시다.

1. 충돌

뒤따라오는 물체가 앞에가는 물체보다 더 빠를경우 두 물체는 충돌하게 되고 속도가 변하게 될 것입니다.

물체A는 속도가 감소하게 될 것이고 (운동량이 감소) A의 감소한 운동량 만큼

물체 B의 속도가 증가하게 될 것입니다.

   물체 A의 운동량의 변화(충격량) = m1v1' - m1v1 = -FΔt (운동량이 감소)

   물체 B의 운동량의 변화(충격량) = m2v2' - m2v2 = FΔt (운동량이 증가)

정리하면,

m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'

이 되고, 이것은

처음의 운동량의 합 = 나중 운동량의 합

이라는 것을 의미합니다.

2. 융합

물체두개가 운동하다가 합쳐져서 함께 운동하는 경우입니다. 충돌 후에는 함께 움직이니까 질량은 두 물체의 합일테고, 속도는 같겠지요.

운동량 보존 식은

m1v1 + m2v2 = (m1+m2) * v'

가 됩니다.

3. 분열

붙어있던 물체가 어떤 이유에 의해서 두개로 갈라지는 경우입니다. 이때에도 운동량은 보존됩니다.

(특히 이것은 얼음판 위에서 두 사람이 서로 미는 작용반작용을 설명할 때에도 많이 사용됩니다.)

운동량 보존 식은

0 = m1v1' + m2v2' → - m1v1' = m2v2'

4. 관통

총으로 물체를 쏴서 관통시켰다고 가정해 봅시다. 총알은 관통하고 뒤로 계속 날아갈 것이고 관통된 물체도 뒤로 밀리는것을 영화를 봐서 알고 계실것입니다.

이 경우에도 운동량은 보존됩니다.

운동량 보존 식은

m1v1 = m1v1' + m2v2'

SKA'       탄성충돌과 비탄성충돌

우리는 탄성충돌이나 비탄성충돌에 대한 이야기를 많이들 합니다.

탄성충돌의 경우는 충돌 전후의 운동에너지가 보존되는 경우를 말합니다.

비탄성충돌은 반대로 충돌 전후의 운동에너지가 보존되지 않는 경우입니다.(대부분의 물체의 운동)

완전 비탄성 충돌은 충돌후의 운동에너지가 0이 되는 것을 말합니다.

(※중요한것은 운동에너지가 보존되지 않는다는것이지 에너지가 보존되지 않는다는것이 아닙니다. 여기서의 운동에너지는 다른 에너지로 전환됩니다. 열에너지, 파동에너지 등)

이것이 중요한 이유는 비탄성충돌의 경우는 운동에너지가 보존되지 않기 때문에 운동에너지를 가지고는 문제의 해석이 되지 않기 때문입니다. 절대 운동에너지 보존을 가지고 문제를 풀려고 덤비지 마세요.

이와 관련해서 반발계수e는 다음과 같이 정의됩니다.

아래 표를 참고하세요.

차가 충돌하는 경우를 생각해봅시다. 500kg의 차가 5m/s로 돌진해서 300kg 짜리 나무를 들이 받으면서 멈췄습니다.

처음의 운동량은 500 * 5 + 300 * 0 = 2500 kg*m/s 입니다.

 운동량은 보존되기 때문에 (500+300) * v' = 2500 이므로,

 나중속도는 3.1 m/s 로 나무와 자동차가 함께 움직여야 합니다.

 그러나 왜 멈춘 것인가요?

 나무 밑에는 나무를 지탱하는 뿌리가 있습니다. 뿌리가 차량과 나무의 기둥이 뒤로 움직이지 못하도록 반대방향으로 힘을 가해주므로 강력한 가속도가 생기고 물체는 눈깜빡할사이에 정지하는 것이죠.

 운동량이 보존된다는 원칙은 우리가 보고자 하는 두 물체안에서만 적용되며 다른 일체의 외력이나 저항은 없다고 가정하는 것입니다.

차량이 움직이면서 가지고 있던 운동에너지는 어떻게 된 것일까요? 현재 차량과 나무가 정지해 있으므로 운동에너지는 0 입니다. 이 운동에너지는 사고로 인한 차량과 나무의 온도의 증가(열에너지), 충돌하면서 생긴 "쾅"소리 (파동에너지), 땅과 나무 뿌리사이의 마찰에 의한 열에너지 등으로 전환된 것입니다.

에너지 보존법칙에 의해서 결국 처음과 마지막의 에너지의 합은 변함이 없을것입니다.

다음에는 운동량과 충격량 관련 수능 기출문제 풀어보는 시간을 가지겠습니다.

전부 화이팅~

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