역함수의 성질과 미분 [2012년 9월모평 수리가형 21번 문제의 해설]

어느곳에 계신지는 모를 고3 수험생 김모군의 질문입니다.

올해 9월달에 친 모의고사 문제를 왜 이제야 궁금해 하시는건가요!!!!!!ㅋ

저도 한참을 고민했습니다 ㅋㅋ

<2012년 고3 모평 수리 가형 21번 문제>

SKA'       역함수관계의 몇가지 특징들

일단 문제를 풀기전에 이 문제를 풀기위해서는 미분 뿐만아니라 역함수의 특징에 대해서 좀 알고 있어야합니다.

역함수 관계에 있는 친구들의 특징을 알아보죠.

1. 역함수 관계에 있는 함수는 기울기가 서로 역수!!

접선역시 y=x에 대칭이므로, 역함수의 도함수는 서로 역수관계가 됩니다.

2. 역함수가 만나는 곳은 x와 y좌표가 서로 같은곳!!!

요정도 해놓고, 

3. 극한에서 써먹어야하는 성질중에 하나가

이 수렴하기 위해서는,

f(a) = 0 이라면, g(a) = 0 역시 되어야 한다는 것입니다.

자 그럼 문제를 풀어봅시다.

i) 역함수의 성질 첫번째에서 역함수의 도함수는 서로 역수관계에 있으므로 아래와 같은 관계가 성립합니다.

ii) 극한의 수렴관계를 이용해서 몇가지를 찾아봅시다.

수렴하는데, 분모에 x=3을 대입하면 0이 되는것을 알 수 있습니다. 

x=3일때 분자도 0이 되어야겠군요.

두번째 역함수의 성질에서 f(a)=g(a)=a 라는 것을 이용해서 f(3)=g(3)=3 이라는 것도 찾았군요.

iii) 식을 가지고 약간 변형을 해주어야 합니다. f(3)-g(3)=0 이므로,

이제 도함수의 정의를 이용하면, 아래와 같이 해결되겠군요.

처음말했던 역함수의 도함수는 서로 역수라는 성질을 이용하면!!!

이제 이차방정식을 풀어야 합니다.

풀면,

이 나옵니다. 그런데 처음에 f'(x)는 3보다 크거나 같다고 하였으므로,

f'(3) = 3 이겠군요.

iv) 처음에서 최고차항의 계수가 1이라고 했으니 

이겠고,

f(3) = 3 이라고 구했죠?

그리고 f'(3) = 3 이랩니다.

미지수는 3개 인데, 우리가 알고있는 식은 2개 뿐입니다.

식을 하나 더 찾아야 해요.

어디서 찾아야 하는고 하니,

f(x)의 최소값이 3이라는 것에서 찾아야 하는것입니다.

도함수가 최소값이 되는점이 바로 3차함수에서의 변곡점이고,

변곡점에서의 특징은 바로,

f''(x)=0 이 된다는 것입니다.

그럼 f''(3) = 0 이겠군요.

위로 거슬러 올라가면서 b와 c를 구하면,

b = 30

c = -33 이로군요.

f(x)를 써보면,

ㅋㅋㅋ........