11.3. 질문받은 문제) 5차함수의 그래프를 어떻게 그릴것인가?

문제)

일때, 방정식 f(x) = 0 는 왜 서로다른 두 실근을 가질까요? 그래프를 안그리면 문제가 안풀리나요???

Ska의 답변) 일단 결론부터 말하자면, 그래프를 그려야 문제가 풀립니다!!!!차분히 그래프를 그려봅시다.

i) 방정식을 만들어 봅시다.

ii) 여기서 중요한것을 하나 짚고 넘어가야 합니다. 로그의 정의에 의해서 ln위에 있는놈은 0보다 무조껀 커야합니다.

자고로 0 < x < 10

iii) 로그의 성질을 이용해 좌변을 정리하면,

iv) 로그가 0이 될려면 위에 있는놈이 1이 되어야 합니다.

따라서,

v) 자 5차 방정식이 완성 되었으니 이를 5차함수로 바꿔서 그래프를 그려볼까요????

당연히 못그릴껍니다. 안배웠으니까요...

그럼 이놈을 어떻게 그리냐 하면,

vi) x=0에서의 값이 얼마인지를 봅니다.

x=0에서 y의 값은 -1입니다.

그리고 x=10에서의 값을 봅시다.

또 -1입니다.

끝에 값을 찾았으면 이제 그래프의 기울기가 어떻게 변하는지를 찾으면 되겠군요.

vi) 그래프의 기울기를 구하려면 미분을 해야합니다.

vii) 도함수가 0이 되는점, 즉 변곡점(기울기의 부호가 바뀌는 곳)이 있는곳은 0과 8 뿐이군요, 그런데 0에서는 부호가 바뀌든 말든 우리가 상관할바가 아닙니다.

기울기가 변하는 곳은 8이군요. 이 말의 의미는 그래프의 기울기의 추세가 8에서만 변한다는 말입니다.

그래프를 그려보면, 다음 두가지 경우가 있겠네요.

자 이제 우리는 왼쪽의 경우인지만 밝혀내면 됩니다.

왼쪽과 오른쪽 뭐가 다른가요? 그래프가 아래로 볼록 위로 볼록이 다른가요? 아닙니다.

위로 볼록이지만 이런 경우에도 해가 없네요.

바로 x=8에서의 값이 양수인지 음수인지를 알아내면 됩니다.

x=8에서 y의 값이 0이라면 한개의 해를 갖겠지요.

자, 이제 식에 x=8을 대입해봅시다.

음....8의 5승이라.... 계산하기가 힘들지만 감으로 때려맞출 수는 있습니다.

시간이 많으시면 산수를 하시고,

8의 네제곱에 10을 곱하는것과 8을 곱하는 것은 엄청난 차이가 있을겁니다.

당근 10을 곱하는 것이 엄청나게 크겠지요.

거기다가 1을 빼봤자 좌변은 양수일겁니다.

그래서 x=8에서의 값은 양수이므로 문제에서의 방정식은 서로다른 두개의 근을 갖는 것이죠.

이 문제는 그래프를 정확하게 그릴수 있느냐의 문제를 물어보는 것이아니라, (실제로 그릴수도 없습니다.)

도함수와 그래프의 기울기의 의미에 대해서 감을 잡고 있는 지를 물어보는 문제였습니다.