집합과 명제 문제 쉽게 푸는 팁

"집합과 명제" 문제 쉽게 푸는법

- 몇가지 팁만 익혀놓으면 쉽게 풀리는 명제 문제 풀이법

명제 문제는 집합과 부등식과 함께 연계해서 문제가 나오는 경우가 대부분입니다.

헷갈리기 시작하면 답이 없습니다. 몇가지 원칙만 암기해두면 어려운 부등식 연계문제만 빼면 문제해결의 실마리를 쉽게 찾을 수 있습니다.

첫번째 팁은, 화살표는 항상 안에서 밖으로 향해야 한다는 것입니다.

집합 P={0,1,2,3}와 집합 Q={1,2,3}가 있다고 하면,

집합관계는 그림처럼 Q는 P의 부분집합이며, 이는 P가 Q를 포함한다는 말도 됩니다.

기호로 표현하면,

Q ⊂ P

위에서 정한것처럼 화살표는 항상 안에서 밖으로 향한다고 하였으니, 이를 명제로 표현하면

q → p 

q 이면 p 이다.

가 됩니다.

두번째 팁은 충분한 쪽이 필요한 쪽으로 화살표를 보낸다는 것입니다.

q → p 이니 q 가 p쪽으로 화살표를 주고 있네요.그러니까,

주는쪽이 '충분', 받는 쪽이 '필요' 가 되겠습니다.

 q는 p에 대한 충분조건

 p는 q에 대한 필요조건

되나요?

세번째 팁은 방정식으로 명제가 주어질 경우 방정식부터 풀어라 입니다.

예를들어 

같은 조건 p와 q가 주어졌을 경우, 방정식부터 먼저 풀어야한다는 것이죠.

※설마 조건 p에서 x를 그냥 약분하는 친구는 없기를 바랍니다. 

대학교 수학까지 이어지는 자기도 모르게 무의식적으로 하는 실수 중에 하나입니다. 

조건 p의 진리집합은 P={0,1}

조건 q의 진리집합은 Q={0}

입니다.

당연히 집합 Q는 P의 부분집합이네요.

안에서 바깥으로 화살표가 가야한다고 했으니까 화살표로 명제를 완성합니다.

q → p 

q 가 p로 화살표를 주고 있으니까

q는 (p이기 위한) 충분조건

p는 (q이기 위한) 필요조건입니다.

네번째 팁은 실수체계문제에서의 주의점입니다.

1. 여기서 주의할 것은 0은 자연수가 아니라는것,

2. 실수조건을 명시하지 않았을때 유리수의 반대는 무리수가 아니라는것 (허수가 있음)

3. 정수에서 음수의 반대는 양수가 아니라는 것 (0이 있음)

다섯번째 팁은 머리아플때는 대우명제를 써서 풀어보라는 것입니다.

명제에서 본 명제가 참일 때, 그 대우명제도 반드시 참이 됩니다.

본 명제의 조건으로는 문제풀이가 불가능해 보인다면 대우명제를 쓰면 쉽게 풀릴 확률이 높습니다.

예제를 풀어봅시다.

예제) 조건 p가 q 이기 위한 충분조건일때, a의 값은?

이상태로는 방정식을 풀수도, 진리집합을 구할수도 없습니다. (있지만 생각하기가 복잡해집니다.)

우선 p가 q 이기 위한 충분조건이라고 하였으니,

1. p → q 이것부터 시험지에 쓴다음, 대우명제를 씁니다. (대우명제를 쓴다음에 원래 명제는 머리속에서 지우세요.)

2. ~q → ~p

3. 그럼 두 조건은 방정식으로 바뀌게 됩니다.

4. ~q 조건의 진리집합은 {4}가 나오네요.

5. 이는 ~p조건의 진리집합의 부분집합이어야 하므로, ~p 방정식은 4를 해로 가져야합니다.

6. ~p 식에 4를 대입하면, a = -7 

가장 난이도가 높은 부등식연계문제는 특별한 팁이 없습니다. 잘 풀리지 않을 경우, 중학교 부등식 단원을 꼭 다시 한번 풀어보세요.

SKA'       문제 풀이

수능 기출문제는 풀어보고싶지만 출제안됐군요 ㅋㅋ

잘나오는 문제 하나만 풀어보고 요령을 익혀봅시다.

 <문제>

 a≤x≤2은 -2 ≤ x ≤3 이기 위한 충분조건이고, x ≥ b는 -2 ≤ x ≤3 이기 위한 필요조건이다. a의 최소값과 b의 최대값을 구하시오.

<ska의 풀이>

1. 일단 조건들에 이름을 붙여줍시다.

    p:  a≤x≤2

    q: -2 ≤ x ≤3

    r: x ≥ b

2. 조건을 적용해서 화살표를 붙여줍시다.

   p는 q 이기 위한 충분조건이니까 p → q

   r은 q 이기 위한 필요조건이니까 q → r

 3. 화살표 조건에 따라서 수평선 상에 그림을 그리면, 오른쪽 그림과 같습니다.

 > 일단 진리집합 P는 Q의 부분집합이어야 하므로 Q안에 포함되어야 합니다. 그러니까 a는 -2 밑으로 내려가버리면 부분집합이기를 포기해버리는군요.

 a의 최소값은 그래서 -2입니다.

 > 진리집합 R은 Q를 포함하여야 합니다. 그러니까 b가 -2 위로 올라가 버리면 집합 R은 Q를 포함할 수가 없네요.

 그러므로 b의 최대값은 -2입니다.

결국 구하는 답은 -2 이군용.

고난이도 부등식 문제는 반드시 중학교의 부등식 과정을 익혀두어야 풀기가 수월합니다. 그냥 우습게 보고 덤비면 큰코다칩니다. 

요정도 요령만 익혀두어도 중급문제정도는 풀 수 있을것이라 생각되네요.

전부 화이팅~