수학) 한 근(무리수, 허수)을 알고있을 때 고차방정식(2차방정식, 3차방정식) 쉽게 푸는법

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수학의 정석(기본편) 233p "13.일차,이차, 고차방정식" 단원에서 

한 근을 알고 있을 때 나머지 두 근을 구하는 삼차방정식에 대한 문제가 있습니다.

일반적으로 방정식의 계수가 유리수일때 한근이 무리수라면 그 켤레근도 해가된다는 성질과

(한 근이 1+√2 라면 1-√2 도 다른 한 근이 된다는 것)

방정식의 계수가 실수일때 한근이 허수라면 그 켤레복소수도 해가 된다는 성질을 이용하면 쉽게 해결됩니다.

(한 근이 1+2i 라면 1-2i 도 다른 한 근이 된다는 뜻)

조건을 유의해서 보기바랍니다.

문제는 다음과 같습니다

아래는 모범답안에 나와있는 풀이법입니다.

 

아래는 앞서 설명한 근과 계수의 관계를 이용한 풀이법입니다.

단계가 많아 보이지만, 실제로 풀어보면 이 방법이 훨씬 쉽다는 것을 알 수 있을것이에요.

간단하게 응용한 다른 문제입니다.

다시말하지만 무리수 근일때는 방정식의 계수들이 유리수여야만 만족한다는것

허수근일때는 방정식 계수들이 실수여야만 만족한다는 것에 유념할것