변형된 이차방정식의 몇가지 해법 알아보기 (고1 수학)

SKA'       이차방정식의 기본적인 풀이법

x에 대한 이차방정식을 푸는 기본은 아래 두가지 입니다.

1. 인수분해가 될 경우 > 망설이지 말고 인수분해

2. 인수분해가 안될경우 > 근의 공식

변형된 근의 공식은 알아두면 문제풀이가 상당히 빨라집니다. 대부분의 문제에서 x의 일차항의 계수는 짝수이기 때문입니다.

기본을 알았으니 이차방정식을 변형시켜봅시다.

SKA'       절대값 + 이차방정식

1. 두가지 경우로 나누어서 절대값 기호를 없애주고

2. 방정식을 푼다음

3. 구해진 해가 처음 가정한 x의 범위와 같은지를 비교해서 맞을때에만 해로 인정 << 많이 틀리는 구간

(예를들어  x ≥ 0 이라고 가정하고 문제를 풀었는데 해가 -2가 나오면 그것은 해가 아님)

예제] 다음 방정식을 푸시오.

가정에서 x가 0보다 크다고 하였는데 구한 해가 -1 이므로 모순.

가정에서 x가 0보다 작다고 하였는데 구한 해가 1 이므로 모순.

정답 : 해가 없다.

SKA'       계수가 무리수인 이차방정식

계수가 무리수 일때도 눈썰미가 예리한 사람은 인수분해가 가능하지만, 보통은 인수분해가 되지 않는다고 판단하고 바로 근의 공식에 대입해버리는데 이러면 계산도 복잡해지고 이중근호까지 풀어야하는 사태가 생깁니다.

이때는,

1. 최고차항의 계수를 유리화해주고

2. 인수분해를 한다. 

예제] 다음 방정식을 푸시오.

눈썰미가 예리하다면,

이렇게 바로 인수분해가 가능하기도 하지만, 대부분 최고차항앞의 계수가 복잡하면 멘붕의 조짐이 오기 시작합니다.

게다가 위의 방식대로 풀면 두번째 해가 분모에 무리수가 오기 때문에 유리화를 해주어야 하므로 번거롭습니다.

푸는요령

SKA'       계수가 허수인 이차방정식

계수가 허수일때에도 위와 같은 요령으로 최고차항의 계수를 실수화 시켜줍니다. 그냥 근의 공식에 대입하면 루트안에 허수 i 가 들어가버리므로 문제를 포기하는 사태가 발생합니다.

예제] 다음 방정식을 푸시오.

최고차항의 계수를 실수화 시켜주고 인수분해합니다. << 켤레복소수를 곱해주면 됩니다.

SKA'       제곱근 + 이차방정식

※ 아래의 등식이 성립한다고 생각하시면 반드시 이 내용을 보셔야 하고, 틀린점을 찾으셨으면 다음으로 넘어가셔도 됩니다~

위의 등식은 성립하지 않습니다. 제곱근안에 제곱이 있다하더라도 제곱과 제곱근이 예쁘게 사라지는것이 아니라는 것이죠.

왜냐하면 괄호안이 음수일때를 고려해 주어야 하기 때문입니다.

위의 등식은 아래와 같이 고쳐줘야 합니다.

그럼 절대값이 있는 이차방정식으로 바뀌게 되죠.

아래의 예제를 풀어봅시다.

예제] 다음 방정식을 푸시오.

해법)

공교롭게도 해가 없네요!!! 하지만 이렇게 구간을 따로 나눠서 문제를 풀어야 한다는거~ 기억하세요!

SKA'       가우스기호 + 이차방정식

가우스 기호 [x]는 x를 넘지 않는 최대의 정수를 말합니다.

[4.2] = 4

[2.8] = 2

[-2.1] = -3

거꾸로 

[x] = 4  → 4 ≤ x < 5

[x] = 2 → 2 ≤ x < 3

[x] = -3  → -3 ≤ x < -2

입니다. 왼쪽은 등호가 붙는다는거 잊지마세요~

일단 가우스 기호 통째로 치환하고 문제를 풀어줍니다.

예제] 다음 방정식을 만족하는 x의 범위를 구하시오.

SKA'       요약

 이차방정식의 몇가지 해법을 알아보았습니다.

  <정리하면>

  1. 절대값은 내부가 음일때와 양일때를 구분해서 풀기

  2. 계수가 무리수나 허수일때는 유리화/실수화 하고 인수분해해서 풀기

  3. 가우스 기호는 치환해서 푼다음 푸는 요령에 따라서 범위 구하기