원순열(순열) 쉽게 구하는법 (이웃해서 서기, 마주보고 서기)

고등학교 3학년 요맘때쯤이면 "확률과 통계"에서 원순열을 배우고 있지 않을까 싶습니다.

원순열은 사실 어려운 것이 아닌데 요걸 약간 응용하면 머리아파지게 되죠

순열부터 원순열 그리고 원순열의 응용까지 쉽게 할 수 있는 방법을 알아봅시당

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문제)
6명의 사람이 있다고 가정합시다. 

이 6명이 원탁회의를 하려고 합니다.

이 사람들이 앉을 수 있는 경우의 수는 몇가지 일까요?


풀이)
순열의 개념부터 출발해 봅시다.

6명을 원탁에 앉히는 것은 6명을 줄을 세운 다음에 첫번째와 마지막 친구를 연결하면 원이 되겠네요.

일단 6명을 줄을 세우는 경우의 수는, 자리의 개념으로 생각하면 쉬워집니다.

첫번째 자리에 몇명이 올 수 있을까,

첫번째 자리에 한명을 채우고 난 뒤에는 2번째 자리에는 몇명이 올 수있을까,

이렇게요

 자 이제 줄을 세웠으니까

첫번째하고 꼴등을 연결하면 원순열이 되겠네요

 그런데 같은 원탁을 살짝 돌린다고 해도 그 원탁에 앉은 숫자의 배열에는 변함이 없습니다

 그림을 참고하세요.

경우의 수 라는 것은 같은 여러가지 경우는 하나의 경우로 보기 때문에

(1,2,3,4,5,5 가 쓰여있는 주사위를 굴렸을 때 나오는 경우의 수는 5이지 6이 아닙니다!!)

중복되는 것은 나누어 줘야겠죠?? 

 

이렇게 원순열의 공식까지 유도하게 되었습니다.

원순열의 응용문제는 서로 이웃하거나 마주보는 친구가 있을때의 경우의 수를 구하는 것이 대표적인데요

이것은 이웃하거나 마주보는 친구 한명을 순열에서 제외시킨 다음에

나머지 사람으로 원순열을 만들고나서,

제외했던 사람을 우리가 원하는 자리에 배치하면 문제가 아주아주 쉬워집니다.

꼭 한번 생각해보세요.

응용1) 6명이 원탁에 앉는데 2명이 서로 이웃하는 경우

1. 이웃하는 1명을 일단 제외시킵니다. > 5명 남음

2. 5명으로 원순열을 만듭니다. > (5-1)! = 4! = 24

3. 이제 빠졌던 한명을 다시 끼워넣는데,

이 친구는 이웃하고 싶은 친구의 오른쪽에 앉을 수도,

왼쪽에 앉을 수도 있습니다.

그러니까 2를 곱해주면 되는 것이죠

4. 답은 24 x 2 = 48가지

 
응용2) 특정 2명이 서로 마주보고 있을 때

1. 이 역시 마주보는 한명을 순열에서 제외시킵니다. > 5명 남음

2. 5명으로 원순열을 만듭니다. > (5-1)! = 4! = 24

3. 빠졌던 1명을 다시 끼워넣습니다.

  그런데 이 때는 마주보는 자리는 한자리 밖에 없으므로 x 1을 해주면 되겠네요.

4. 답은 24 x 1 = 24