[수열] 특집2. 등차수열의 합공식과 그 증명

수열에 대해서 간단히 정리해보고 적용되는 공식과 증명, 간단한 문제들 풀어볼까해요.

생각하는 구성은 다음과 같습니다.

1. 등차수열의 기본

2. 등차수열의 합공식과 그 증명

3. 등비수열의 기본

4. 등비수열의 합공식과 그 증명

5. 수열의 응용1(간단한 수열의 합공식 유도 - 거듭제곱의 합)

6. 수열의 응용2(간단한 수열의 합공식 유도 - 분수꼴로 된 수열의 합, 계차수열의 합)

7. 수능 기출문제 풀어보기(2012년, 2011년 수리'나'형 기출문제 풀이)

8. 수능 기출문제 풀어보기(2010년, 2009년 수리'나'형 기출문제 풀이)

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천재소년 가우스

가우스(1777~1855)는 어린시절 1부터 100까지의 합을 구하라는 선생님의 벌칙에 코방귀를 끼며 암산으로 이를 풀어내었다고 한다. 원리인 즉슨,

1과 100을 더하면 101

2와 99를 더하면 101

3과 98을 더하면 101

4와 97을 더해도 101

.

.

.

50과 51을 더해도 101

이라는 것이다.

결국 101이 50개 이니 1부터 100까지의 합은 5050 인 것이다.

등차수열의 합은 이 방법을 응용한 것이다.

등차수열의 합 공식유도

등차수열 

      - ①

라고 정의하고

을 등차수열의 첫째항부터 n항까지의 합이라고 정의하면

 - ②

이고 등차수열의 일반항을 대입하면,

 - ③

의 순서를 뒤집으면,

 - ④

③ 식과 ④ 식을 합하면,

 - ⑤ 항이 (2a+(n-1)d)가 n개

 - ⑥

등차수열의 마지막 항을 이라고 하면,  이므로,

 - ⑦

등차수열 첫째항부터 n항까지의 합은,  1. 마지막 항이 일 때,     2. 공차가 일 때,

ex1) 등차수열 1,8,15,22...64 의 합을 구하시오.

첫항이 1, 마지막 항이 64, 공차는 7이므로,

n이 10이므로,

ex2) 100보다 크고 200보다 작은 17의 배수의 합을 구하시오.

17의 배수를 묻는 문제이기 때문에 이는 등차수열이다.

100 / 17 ≒ 5.88 따라서 등차수열의 첫번째 항은 17 * 6 = 102

200 / 17 ≒ 11.76 따라서 등차수열의 마지막 항은 17 * 11 = 187

등차수열 첫번째 항부터 마지막 항까지의 갯수는,

n = 11 - 6 + 1 = 6

등차수열의 합으로 일반항 끌어내기

② 번식,  에서

,

 - ⑧

② - ⑧ 해주면

등차수열 첫째항부터 n항까지의 합 에서,  1.      2.

ex) 등차수열의 첫째항부터 n항까지의 합이

  일때,

이 등차수열의 일반항을 구하시오.

n≥ 2 일 때,

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