[수열] 특집3. 등비수열 공식의 기본부터 (등비수열의 공식과 예제)

수열에 대해서 간단히 정리해보고 적용되는 공식과 증명, 간단한 문제들 풀어볼까해요.

생각하는 구성은 다음과 같습니다.

1. 등차수열의 기본

2. 등차수열의 합공식과 그 증명

3. 등비수열의 기본

4. 등비수열의 합공식과 그 증명

5. 수열의 응용1(간단한 수열의 합공식 유도 - 거듭제곱의 합)

6. 수열의 응용2(간단한 수열의 합공식 유도 - 분수꼴로 된 수열의 합, 계차수열의 합)

7. 수능 기출문제 풀어보기(2012년, 2011년 수리'나'형 기출문제 풀이)

8. 수능 기출문제 풀어보기(2010년, 2009년 수리'나'형 기출문제 풀이)

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등비수열의 정의

일반적으로 수열,

의 각 항이 바로 앞의 항에 공비 r을 곱해서 얻어지는 경우 이를 등비수열 이라고 하고

식으로는 다음과 같이 나타낸다.

ex) 수열 4, 24, 144, 864, ... 은 첫째항이 4이고, 공비가 6인 등비수열이다.

등비수열의 일반항

첫째항이 a이고 공비가 r인 등비수열의 경우,

로 나타난다. 이를 정리하면,

첫째항이 a이고 공비가 r인 등비수열의 일반항은,   이다.

ex 1) 첫번째 항이 10이고 공비가 2인 등비수열의 일반항은,

 이고,

4번째 항은,

으로 80이다.

ex 2) 두번째 항이  12이고, 5번째 항이 768인 등비수열의 일반항을 구하시오.

첫번째 항을 a, 공비를 r이라고 하면,

두 식을 나누게 되면 

첫번째 식에 대입하면 a = 3 즉,

첫항이 3이고 공비가 4인 등비수열이다. 일반항은,

ex 3) 첫번째 항이 3, 공비가 8인 등비수열 중 1000미만이면서 가장 큰 항은 몇번째 항인가?

일반항은, 

따라서 3번째 항인, 192 이다. (4번째 항은 1536임)

등비중항

a, b, c 가 순서대로 등비수열을 이룬다면,

b는 a와 c의 등비중항이라고 한다.

ex)   a, b, 45는 등차수열, 3, a, b는 등비수열을 이룬다.

a,b는?

b는 a와 45의 등차중항,

a는 3과 b의 등비중항인다.

윗식을 아랫식에 대입하면,

a = 9, b = 27 or

a = -15/2, b = 75/4