[수열] 특집4. 등비수열의 합공식과 그 증명

수열에 대해서 간단히 정리해보고 적용되는 공식과 증명, 간단한 문제들 풀어볼까해요.

생각하는 구성은 다음과 같습니다.

1. 등차수열의 기본

2. 등차수열의 합공식과 그 증명

3. 등비수열의 기본

4. 등비수열의 합공식과 그 증명

5. 수열의 응용1(간단한 수열의 합공식 유도 - 거듭제곱의 합)

6. 수열의 응용2(간단한 수열의 합공식 유도 - 분수꼴로 된 수열의 합, 계차수열의 합)

7. 수능 기출문제 풀어보기(2012년, 2011년 수리'나'형 기출문제 풀이)

8. 수능 기출문제 풀어보기(2010년, 2009년 수리'나'형 기출문제 풀이)

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등비수열의 합 공식유도

등비수열(첫항이 a이고 공비가 r)

 - ①

라고 정의하고

을 등비수열의 첫째항부터 n항까지의 합이라고 정의하면

 - ②

이고 ② 식에 ① 식을 대입하면,

 - ③

③ 식에다가 공비 r을 곱하면,

 - ④

③식에다가 ④식을 빼면,

 - ⑤

이때 공비가 1이라면, 수열의 합은 a가 n개 있는것과 같다.

 - ⑥

등비수열의 첫째항부터 n항까지의 합은,  1.    2.

ex1) 등비수열의 첫째항부터 n항까지의 합을 구하시오.

1, -3, 9, -27, ...

첫째항이 1이고 공비가 -3 이므로,

ex2) 첫번째 항부터 3항까지의 합이 26이고, 첫째 항부터 6항까지의 합은 728인 등비수열의 첫째항과 공비를 구하시오.(각 항은 실수)

첫번째로 공비가 1인지 아닌지부터 확인한다.

공비가 1이라면, 3항까지의 합은 3a = 26 => a=26/3

6항까지의 합은 6a = 728 => a = 728/6 = 364/3 모순이므로 공비는 1이 아니다.

두 식을 나눈다.

인수분해하고 정리하면,

각 항이 실수이므로 공비는 3,

대입하면, 

등비수열의 합으로 일반항 이끌어내기

요령은 등차수열과 동일

ex) 첫번째 항부터 n항까지의 합이 일 때,

수열의 일반항을 구하시오.

아니!!그냥가시게요!?

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