적분 쉽게하는법 - 넓이, 부피계산 할 때 dx, dy 어떤것을 붙여야되나?

적분을 이해하는데 컴퓨터가 적분을 계산하는 원리가 도움이 될겁니다.

그러니까 적분 공식은 다 집어치우고, 컴퓨터로 적분을 계산하는 방법부터 알아봅시다.

예를들면, y = 2x + 1 이라는 1차곡선이 있다고 합시다.

우리는 0에서부터 10까지를 적분하고 싶습니다.

정확한 계산값은,

110이군요.

컴퓨터라는 녀석은 사람만큼 똑똑하지 못하기 때문에 저것을 구하려면 몇가지 작업이 필요합니다.

바로 구간을 나눠서 사각형의 넓이를 구하는것이죠. 

0~10까지 4개로 구간을 쪼개보겠습니다.

정확한 계산값과 25라는 오차를 갖습니다.

구간을 더 잘게 쪼개볼께요.

그럼 10개로 쪼개봅시다.

자, 이제는 오차가 10으로 줄었습니다.

구간을 100개로 나누면 계산의 오차는 더욱 줄어들 것이라는것은 해보지 않아도 알 수 있겠죠?

컴퓨터는 적분을 계산할 때 아주 작은 구간으로 저 구간들을 나눠서 많은 계산을 해보고 거의 정확한 값을 도출해냅니다.

우리가 적분을 하는데 사용하는 dx, dy라는 것은 아주 잘게 쪼갠 구간을 말하는 겁니다.

구간의 너비가 거의 0에 근접하게 되면, 저 사각형들은 선에 가까워 지겠지요.

그러니까 우리가 적분을 구하는 원리는 아주 얇은 선들을 무한히 더하는것과 같다는 겁니다.(2차 평면에서)

SKA'       회전체에서는 어떻게 될까?

회전체의 부피를 구함에 있어서 여러 공식을 외우는 것도 좋지만, 어떻게 그것이 나왔는지부터 먼저 이해를 해야 합니다.

그냥 공식만 외우면 약간의 응용문제에서도 쉽게 당황하게 되고 실수를 하는것은 당연합니다.

자 위에서 써먹었던 y = 2x+1 이라는 놈을 y축으로 회전시켜봅시다.

y=13 이라는 직선과 만들어내는 삼각뿔의 부피를 구하려면, y축을 잘개 쪼개주면 될겁니다.

손계산과 비교해볼까요?

38π의 오차가 있습니다.

이번에도 마찬가지로 구간을 더 잘게 쪼개면 정확한 값에 근접할겁니다.

구간을 잘게 어느방향으로 쪼개야 하나요?

- y방향입니다. ☞ dy!!!

구간을 쪼개면 원이 생기죠? 원의 반지름은 어느좌표입니까? 

- x좌표입니다.   ☞ 

그래서 y축으로 회전했을때의 부피는, (원판이 y축방향으로 더해짐)

인 것입니다.

같은 방법으로 x축으로 회전했을때의 부피는, (원판이 x축방향으로 더해짐)

인 것입니다.

SKA'       적분기호(dx, dy) 붙이는 요령

넓이를 구하는 적분일때,

부피를 구하는 적분일 때,

회전에만 국한시키지말고, 부피를 계산하는 방향이 어느쪽인지를 확인한 다음, dx, dy를 거기에 맞게 붙여주면 되겠습니다~